ejercicio video 2

 

Presentacion 

LA DEFLEXION DE  UNA VIGA  ES EL MOVIMIENTO (DESVIACCION) DE UN PUNTO SITUADO SOBRE LA ELASTICA, CON RESPECTO A SU POSICION SIN CARGA.

LA PENDIENTE DE UNA VIGA SE DEFINE COMO LA PENDIENTE DE LA TANGENTE A LA ELASTICA DE UN PUNTO CUALQUIERA.

LA ELASTICA DE UNA VIGA  ES LA FORMA QUE TOMA EL EJE NEUTRO CUANDO SE CARGA LA VIGA. CADA PUNTO SITUADO SOBRE LA ELASTICA TENDRA UN DEFLEXION Y, Y UNA PENDIENTE.

 

Este método usa las propiedades geométricas de la curva
elástica y la relación con la variación a lo largo de la viga.

En la imagen podemos apreciar a teta y la relación de cambio

El Angulo de las tangentes en A y B es igual al área del diagrama de momentos flectores entre esos dos puntos, divididos por el producto.

 

El angulo de las tangentes en A y B es igual al área del diagrama de momentos flectores entre esos dos puntos, divididos por el producto. En la imagen podemos apreciar dichas tangentes.

En la imagen esta podemos apreciar ambas tangentes.

 

•       La distancia en vertical entre el punto B de una elástica y la tangente trazada por el punto A es igual al momento respecto a la vertical por B del área del diagrama de momentos flectores entre A y B divididos por el EI.

Podemos apreciar a delta en la imagen izquierda y su formula en la imagen derecha.

·  La determinación de las flechas en un punto dado de una viga cargada se hace siguiendo el proceso siguiente.

1.- se determina las reacciones de la viga. En el caso de una viga en voladizo se puede suprimir frecuentemente este paso.

2.- se dibuja una curva elástica aproximada. Debe estar de acuerdo con las condiciones conocidas con los apoyos, tales como pendiente nula o flecha nula.

3.- se traza el diagrama de momentos flectores de la viga. Frecuentemente conviene trazar el diagrama de momentos por partes.

4.- se eligen puntos A y B apropiados y se traza una tangente en unos de ellos, por ejemplo, en A a la elástica supuesta.

5.- se calcula el desplazamiento del punto B desde la tangente en A por el segundo teorema del área de momentos.

 

•       La viga en voladizo de la figura esta sometido a la carga aislada P aplicada en su extremo libre. Determinar la flecha en el punto de aplicación de la carga

 

•       Se traza el diagrama de momento de la viga

 

•       Trazar una tangente a la elástica en el punto A

•       En este caso en particular el desplazamiento del
punto B y la tangente A es la flecha buscada.

 

 

 

 

 

 

 

 

•       Se aplica el segundo teorema del área de momentos, el desplazamiento de B a la tangente trazada A esta dado por el momento respecto a la vertical por B del área bajo el diagrama de momentos flectores dividos por el producto EI El teorema del area de momentos se convierte en:

•       El área del diagrama triangular de momentos es: ½(L)(-PL)

•       El centro de gravedad esta en el extremo derecho a la distancia 2L/3

•        El teorema de área se vuelve:

 

 

Una viga de 8 metros de largo se le aplica una fuerza de 200 kg

Con fuerzas de 1600 kg y 200 kg en el extremo fijo, como se muestra en la figura de abajo.

 

Procedemos simplemente a sustituir los valores en el teorema previamente visto para conseguir los siguientes valores:

•       El principio de análisis por superposición establece que el efecto de un conjunto de cargas que actúan simultáneamente, es el mismo cuando se suman los efectos de cada una de ellas actuando por separado.

 

•       Según el concepto previo, es posible solucionar una viga analizando las rotaciones en los extremos de las barras para las cargas dadas considerando a cada barra simplemente apoyada.

 

 

•       Se conocen diversas formulas ya establecidas para el desarrollo del análisis por superposición. A continuación se muestran las mas comunes:

Ver diapositivas para las formulas*

 

•       Calcule los momentos y las reacciones verticales en los nodos de la viga empleando el análisis de superposición:

 

 

 

 

•       Se dibujan los claros “1-2” y “2-3” por separado
indicando cargas y momentos desconocidos. En este caso solo hay un
momento descocnocido, el momento del nodo 2; “M2” y se obtienen las vigas
equivalentes simplemente apoyadas. Habrá tantas vigas equivalentes como
momentos de extremo y cargas haya en el claro correspondiente. En la figura  se mestra esta condición.

 

•       Se hacen las siguientes consideraciones:

1.- La rotación o pendiente es cero en extremos empotrados.

2.- En un soporte interior la pendiente es la misma a la izquierda y a la derecha de dicho soporte.

3.- Se indican las pendientes en los extremos de cada soporte con el criterio
siguiente:

 

En esta imagen se pueden apreciar las pendientes en los extremos de cada soporte de la viga

 

•       Para nuestro caso solo se necesita plantear una ecuación de equilibrio, pues
solo hay un momento desconocido, M2. Esta ecuación se obtiene sumando las
pendientes en el apoyo 2, igualando las pendientes de la izquierda con las
pendientes de la derecha.

 

 

 

•       Reacciones verticales. Se obtienen por equilibrio estático mediante suma de momentos a la izquierda o a la derecha de los soportes.

 

•       Sumando momentos a la ezquierda del soporte 2:

 

•       Sumando momentos a la derecha del soporte 2:

 

•       Sumando cargas verticales:

Fin del ejercicio

Torsión

 

Torsión

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por la dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él (ver torsión geométrica).

El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:

1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección.
2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.

El alabeo de la sección complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general.

es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por la dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él (ver torsión geométrica).

El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:

1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección.
2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.

El alabeo de la sección complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general.

Torsión general: Dominios de torsión

En el caso general se puede demostrar que el giro relativo de una sección no es constante y no coincide tampoco con la función de alabeo unitario. A partir del caso general, y definiendo la esbeltez torsional como:

Donde G, E son respectivamente el Módulo de elasticidad transversal‏‎ y el Módulo elasticidad longitudinal, J, Iω son el módulo torsional y el momento de alabeo y L es la longitud de la barra recta. Podemos clasificar los diversos casos de torsión general dentro de límites donde resulten adecuadas las teorías aproximadas expuestas a continuación.

De acuerdo con Kollbruner y Basler:

• Torsión de Saint-Venant pura, cuando .
• Torsión de Saint-Venant dominante, cuando .
• Torsión alabeada mixta, cuando .
• Torsión alabeada dominante, cuando .
• Torsión alabeada pura, cuando .

El cálculo exacto de la torsión en el caso general puede llevarse a cabo mediante métodos variacionales y usando un Lagrangiano basado en la energía de deformación. El caso de la torsión alabeada mixta, no puede ser tratada más que usando la teoría general de torsión.

Torsión de Saint-Venant pura

La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant da buenas aproximaciones para valores , esto suele cumplirse en:

1. Secciones macizas de gran inercia torsional (circulares o de otra forma).
2. Secciones tubulares cerradas de pared delgada.
3. Secciones multicelulares de pared delgada.

Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje Bari céntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo existe giro.

Blibliografía

• Ortiz Berrocal, L., Elasticidad, McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.
• Timoshenko, S.P. y Godier J.N., Theory of elasticity, McGraw-Hill, 1951.
• Monleón Cremades, S., Análisis de vigas, arcos, placas y láminas, Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.

Deformaciones

 Los cuerpos completamente rígidos no existen. Todo elemento se deforma ante la presencia de cargas sobre él, aunque sea en una proporción muy pequeña. Si aplicamos una carga axial de tracción a un cuerpo, observaremos que éste tenderá a alargarse en el sentido de dicha carga

Ilustración 1
Si la carga fuese de compresión, el cuerpo se acortaría en la   dirección de la carga

Se llama "Alargamiento" (ä) al cambio de longitud que experimenta un cuerpo debido a una carga axial aplicada sobre el mismo.   Según la figura presentada anteriormente, se puede plantear así:

                                                                                     d = DL =Lf  - L0

A partir del Alargamiento, podemos establecer un concepto que nos será muy útil en el estudio de los materiales: la Deformación Unitaria Normal (ε).  Esta se establece de la siguiente forma:

e = d                      = Lf  - L0

         L0                                                   L0

Es importante mencionar que, como el Alargamiento y la Deformación Unitaria Normal se deben a cargas axiales, estos conceptos están íntimamente relacionados con los esfuerzos normales

Cuando un cuerpo se deforma en una dirección, se producen también deformaciones en las dos direcciones ortogonales a la primera. Estas deformaciones pueden determinarse utilizando el módulo de Poison (u).

Si se aplica una carga axial en la dirección de x, se tendrá una deformación εx, y se producirán deformaciones ‘εy’ y ‘εz’, las cuales pueden calcularse mediante las relaciones:

                               ey=-u*ex

                               ez=-u*ex

Método de superposición y Método de áreas

 Método de superposición

El principio de superposición se puede definir como "el efecto de la suma de acciones es la suma de cada efecto de cada acción".

El método de superposición usa una teoría de la elasticidad lineal. El método consiste en descomponer el problema inicial de cálculo de vigas en problemas o casos más simples, que sumados o "superpuestos" son equivalentes al problema original. Puesto que para los casos más sencillos existen tablas y fórmulas de pendientes y deformaciones en vigas al descomponer el problema original como combinaciones de los casos más simples recogidos en las tablas la solución del problema puede ser calculada sumando resultados de estas tablas y fórmulas.

El principio de superposición nos permite decir que lo que le pasa de forma general a la viga inicial (es decir, los esfuerzos y reacciones que aparecen) es lo mismo que lo que resulta de sumar lo que le pasa a esa misma viga sometida a cada una de las acciones por separado.

¿Cuándo se usa?

En el caso de deflexiones en vigas, el principio de superposición es válido en las siguientes condiciones:

• El material cumpla la Ley de Hooke

• Las deflexiones y rotaciones en la viga sean pequeñas

• Las deflexiones no alteren las cargas

Tan importante es entender este principio como saber en qué condiciones se cumple y se puede usar. El principio de superposición se cumple y se puede aplicar siempre y cuando el comportamiento de los materiales sea LINEAL.

Método de áreas

Este método del área de momento es un procedimiento que generalmente es muy útil cuando se desea obtener las pendientes y las deflexiones solamente en ciertos puntos seleccionados a lo largo de la viga.

Se podría decir también que este método del área de momento es mucho más conveniente que el método de integración cuando la viga es sometida a varias cargas concentradas o a cargas distribuidas discontinuas y es particularmente efectivo cuando se trata de una viga de sección transversal variable.

El método que estudiamos está basado en dos teoremas:

1. El ángulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de una elástica continua es igual al área del diagrama M/EI comprendida entre dichos puntos.

2. La distancia de un punto B” de una elástica continua, medida perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto A” de dicha curva es igual al momento respecto a B del área del diagrama M/EI comprendida entre dichos puntos.

Referencias:

•           Arroyo, J. C. (s. f.). Qué es el principio de superposición y cuándo se puede aplicar Resistencia de materiales. ingenio.xyz. Recuperado 9 de agosto de 2021, de https://ingenio.xyz/articulos/20200423-que-es-el-principio-de-superposicion-y-cuando-se-puede-aplicar-resistencia-de-materiales
•         Fernidand L. Singer (2006). Resistencia de Materiales.Cuarta Edicion. (pags. 217-223). México, D.F. Editorial Oxford University
•       Joseph EdwardShigley (1983). Diseño en Ingenieria Mecanica. México, D.F. Editorial McGraw-Hill